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复数

Q⊆R⊆C \Huge{\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbf{C}}

C\mathbf{C} 是复数集。复数集比实数集要大，复数是实数的延伸，包括了实数与虚数，它使任一多项式方程都有根。

复数都可以写成 z=a+biz=a+bi（a,b∈Ra,b\in R）的形式，其中，aa 是实部，bb 是虚部，ii 是虚数单位。

ii 被设定为 i2=−1i^2=-1 ，因此可以推出 i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=−i,⋯i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1,i^5=-i, \cdots 。

运算

复数同样适用结合律、交换律和分配律。复数运算的关键就是把实数部分与虚数部分拆开。

加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

减法

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

乘法

(a+bi)+(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i (a+bi)+(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法

a+bic+bi=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2 \frac{a+bi}{c+bi}=\frac {ac+bd} {c^2+d^2}+\frac {bc-ad} {c^2+d^2}
z1z2=z1⋅z2‾∣z2∣2 \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdotp\overline{z_2}}{|z_2|^2}

快速运算

i=1+i1−i=b+aia−bi=−b+aia+bi,−i=1−i1+i i=\frac{1+i}{1-i}=\frac{b+ai}{a-bi}=\frac{-b+ai}{a+bi},-i=\frac{1-i}{1+i}
(a+bi)i=−b+ai,(a−bi)i=b+ai (a+bi)i=-b+ai,(a-bi)i=b+ai

模

复数可以在复平面1中表示出来，复数可以看作平面向量，因此复数有模：

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2(a,b∈R) |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}(a,b\in R)

三角表示

todo

  1. 复平面是以实轴作为 xx 轴，以虚轴作为 yy 轴的坐标系。 ↩