对数¶

定义¶

\(x=\log_aN\)

其中，\(a\)是底数，\(N\)是真数

当\(a>0, a≠1\)时，\(a^x=N\Leftrightarrow{x}=\log_aN\)，可得：

• 负数和零没有对数

• \(\log_a1=0\\\log_aa=1\)

自然对数：

\(e=2.71828\cdots\)

运算性质¶

\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)

\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)

\(\log_aM^n=n\log_aM(n\in{R})\)

对数换底公式：

\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}(a>0, a≠1; b>0; c>0, c≠1)\)

对数函数¶

\(y=\log_ax(a>0, a≠0)\)

定义域：\((0,+\infty)\)

值域：\(\mathbf{R}\)

单调性：

• \(0<x<1\Rightarrow\) 单调递减
• \(a>1\Rightarrow\) 单调递增

反函数¶

定义域与值域互换的两个函数，即：

\(y=a^x(a>0, a≠1)\Leftrightarrow{y}=log_ax(a>0, a≠1)\)

函数零点¶

方程 \(f(x)=0\) 有实数解 \(\Leftrightarrow\) 函数\(y=f(x)\)有零点 \(\Leftrightarrow\) 函数 \(y=f(x)\) 的图像与 \(x\) 轴有公共点

零点存在定理¶

如果函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 \(f(a)f(b)<0\) ，那么，函数 \(y=f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内至少有一个零点，即存在 \(c\in(a,b)\) ，使得 \(f(c)=0\) ， 这个 \(c\) 也就是方程 \(f(x)=0\) 的解.