三角函数¶
\[
\Huge{\sin|\cos|\tan|\cot|\sec|\csc}
\]
诱导公式¶
| \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |
|---|---|---|---|
| 公式一 | \(\sin (a+k·2\pi)=\sin a\) | \(\cos (a+k·2\pi)=\cos a\) | \(\tan (a+k·2\pi)=\tan a\) |
| 公式二 | \(\sin (\pi +a)=-\sin a\) | \(\cos (\pi +a)=-\cos a\) | \(\tan (\pi +a)=\tan a\) |
| 公式三 | \(\sin (-a)=-\sin a\) | \(\cos (-a)=\cos a\) | \(\tan (-a)=-\tan a\) |
| 公式四 | \(\sin (\pi -a)=\sin a\) | \(\cos (\pi -a)=-\cos a\) | \(\tan(\pi -a)=-\tan a\) |
| 公式五 | \(\sin (\frac \pi 2 -a)=\cos a\) | \(\cos (\frac \pi 2 -a)=\sin a\) | - |
| 公式六 | \(\sin (\frac \pi 2 +a)=\cos a\) | \(\cos (\frac \pi 2 +a)=-\sin a\) | - |
| 拓展 | \(\sin(\frac{3\pi}2+\alpha)=-\cos\alpha\) | \(\cos(\frac{3\pi}2+\alpha)=\sin\alpha\) | - |
| \(\sin(\frac{3\pi}2-\alpha)=-\cos\alpha\) | \(\cos(\frac{3\pi}2-\alpha)=-\sin\alpha\) | - |
“奇变偶不变，符号看象限” ——佚名
同角三角函数的关系¶
\(\sin^2 a+\cos^2 a=1\)
\(\tan a=\frac {\sin a} {\cos a}\)
\(\frac {\cos x} {1-\sin x}=\frac {1+\sin x} {\cos x}\)
周期性¶
| \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |
|---|---|---|---|
| 周期 | \(2k\pi(k\in\mathbf{Z}, k≠0)\) | \(2k\pi(k\in\mathbf{Z}, k≠0)\) | \(\pi\) |
| 最小正周期 | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
单调性¶
| \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |
|---|---|---|---|
| 递增 | \([-\frac\pi 2+2k\pi, \frac\pi 2 +2k\pi](k \in \mathbf{Z})\) | \([2k\pi-\pi, 2k\pi](k \in \mathbf{Z})\) | \((-\frac\pi{2}+k\pi,\frac\pi{2}+k\pi)(k \in \mathbf{Z})\) |
| 递减 | \([\frac\pi{2}+2k\pi, \frac{3\pi}2+2\pi](k \in \mathbf{Z})\) | \([2k\pi, 2k\pi+\pi](k \in \mathbf{Z})\) | - |
三角恒等变换¶
| \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |
|---|---|---|---|
| 两角和 | \(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) | \(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) |
| 两角差 | \(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) | \(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\) |
| 二倍角 | \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\beta\) | \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\beta\) | \(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\) |
| \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) | |||
| \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) | |||
| 一半角 | \(\sin\frac12\alpha=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}\) | \(\cos\frac12\alpha=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}\) | \(\tan\frac12\alpha=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\) |
| 积化和差 | \(\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}2[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\)1 | \(\cos\alpha\cos\beta=-\frac{1}2[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\) | - |
| \(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}2[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\) | \(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}2[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\) | ||
| 和差化积 | \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2\)3 | \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2\) | \(\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)2 |
| \(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2\) | \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2\) | \(\tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\) |
平面向量与三角形¶
余弦定理¶
\[
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
\]
\[
\cos A = \frac {b^2+c^2-a^2} {2bc}
\]
正弦定理¶
\[
\frac a {\sin A}=\frac b {\sin B}=\frac c {\sin C}=2R
\]
其中，\(R\) 是三角形外接圆的半径。
在 \(△ABC\) 中， \(A>B\Leftrightarrow\sin{A}>\sin{B}\Leftrightarrow{a>b}\)
面积公式¶
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=\frac 1 2 (a+b+c)\)
\(S=\frac{1}2ah_a=\frac{1}2bh_b=\frac{1}2ch_c\)
\(S=\frac{1}2ab\sin{C}=\frac{1}2bc\sin{A}=\frac{1}2ca\sin{B}\)
\(y=A\sin(\omega{x}+\phi)\)¶
周期：
\(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)
定义域： \(\mathbf{R}\)
值域：
\([-|A|, |A|]\)
对称轴：
直线 \(x=\frac{2k\pi+\pi-2\phi}{2\omega}(k\in\mathbf{Z})\)
对称中心：
\((\frac{2k\pi-\phi}\omega, 0)(k\in\mathbf{Z})\)
零点：
\(\frac{2k\pi-\phi}\omega(k\in\mathbf{Z})\)
极值点：
\((\frac{4k\pi-\pi-2\phi}{2\omega}, A)(k\in\mathbf{Z})\)
\((\frac{4k\pi+\pi-2\phi}{2\omega}, -A)(k\in\mathbf{Z})\)